Teorema de Fegmat

El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de números relacionado con la divisibilidad . Ejemplo:

5³ − 5 = 120 es divisible por 3

También la criptografía con clave pública corresponde a un código que se agrega para asegurar la confideridad de los mensajes con la ayuda de dos claves criptográficas. Una, que permite cifrar el mensaje, es pública. La otra, que tiene como objetivo el descifrado, es privada.

Una importante familia de códigos asimétricos utiliza la tecnología llamada RSA. La clave secreta está determinada por la descomposición de un número entero grande, a menudo de varias centenas de cifras. Éste tiene dos factores primos. Lo esencial de las técnicas industriales de principios del siglo se basa en el pequeño teorema de Fermat para generar grandes números primos o para comprobar la primalidad de un número.

El Teorema de Fermat

El último teorema de Fermat es uno de los teoremas más famosos de la historia de las matemáticas.
Se puede enunciar de la siguiente manera:

-Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números naturales a, b y c, tales que se cumpla la igualdad: a elevado a n + b elevado a n = c elevado a n.
(Fermat)

El teorema fue conjeturado por él en 1637, pero no fue demostrado hasta el año 1993 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor.
Durante la demostración de este teorema intervinieron el propio Fermat, que demostró el caso n=4 usando la técnica del ascenso infinito; Leonard Euler demostró el caso n = 3. Pero se encontró un error en la demostración de Euler; Sophie Germain dijo que un caso especial dice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y ó z es divisible por p; Ernst Kummer demostró que la factorización no única podía ser salvada mediante la introducción de números primos irregulares; y finalmente Andrew Wiles investigando diversos teoremas y conjeturas logró demostrar el teorema de Fermant gracias a la colaboración de Richard Taylor y los teoremas de levantamiento modular.

El teorema de Fermat

Historia del teorema de Fermat:

Fermat fue un famoso abogado y matemático, que vivió en Francia a finales del siglo XVII. A este aficionado de las matemáticas se le atribuyen varios teoremas, pero en realidad solo se le conoce por uno en concreto.

El teorema de Fermat dice básicamente lo siguiente:

- Para n mayor que 2.

- Para números enteros.

- Para números distintos de cero.

Tras su muerte se encontró esta afirmación en uno de sus libros (ya que él no publicaba sus descubrimientos porque no se consideraba matemático, sino un simple funcionario):

"Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El espacio del papel es demasiado pequeño para que la demostración quepa en él."

Ya que Fermat no demostró su afirmación por falta de papel, su hijo publico sus descubrimientos en el año 1670 y 325 años después y el científico y matemático Andrew Wiles consiguió demostrar lo que Fermat había descubierto tres siglos antes y con simple técnicas de matemáticas.

Se cree que Fermat se inspiró en el teorema de Pitágoras para su posterior afirmación.

Ejemplo:

Teorema de Pitágoras:

Teorema e Fermat:

CURIOSIDAD:

El último teorema de Fermat también aparece en series tan reconocidas como “ Los Sompson”, como se puede ver en la siguiente imagen:

Si nos fijamos en este capítulo de los Simpson, emitido en el año 1995, año en el que el estadounidense Andrew Wiles descubrió la solución al teorema de Fermat, podemos ver la siguiente igualdad: 1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

Igualdad que si nos ponemos a hacer números y tenemos en cuenta el teorema de Fermat es totalmente incierta:

1782¹² = 1025397835622633634807550462948226174976
1841¹² = 1515812422991955541481119495194202351681

1782¹² + 1841¹² = 2541210258614589176288669958142428526657
1922¹² = 2541210259314801410819278649643651567616

Aída Santos Valle – 4º.2.

La edición de 1670 de la Arithmetica de Diofanto

Al observar que la mayoría de mis compañeros ha incidido más o menos sobre el mismo tema, he decidido aportar al blog la edición de 1670 de la Arithmetica de Diofanto que incluye el comentario de Fermat, conocido como "Último teorema" (Observatio Domini Petri de Fermat : Observación del señor Pedro de Fermat).
Realizo ésto porque me parece estúpido repetir otra vez los mismos comentarios y me pareció interesante el documento.

Pierre de Fermat escribió en el margen de su copia del Arithmetica de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet , en el problema que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados (es decir, encontrar ternas pitagóricas):

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.

Moisés Solana Sedano 4º2

TEOREMA DE PIERRE FERMAT
El teorema fue conjeturado por Pierre Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta 1993 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor. La búsqueda de una demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX.

Gran parte de la culpa del interés de Fermat por la teoria de números la tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría que llegó a sus manos. A través de ese libro Fermat comenzó a estudiar prpiedades de los números, y en este libro nos dejó su afirmación mas engmática.

Fermat al ver un apartado en el que se enunciaba la teoría de Pitágoras escribió esto: es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o cualquier potencia a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado estrecho para contenerla.

Fermat afirmó que xx+yy=zz sí tiene soluciones enteras positivas, para n más grande no existen tres enteros positivos x,y,z tal que x elevado a n+y elevado a n=z elevado a n. Esto es, esa ecuación no tiene soluciones enteras positivas si n>2.

Tuvieron que pasar 350 años para que Andrew Wiles consiguiera demostrar este resultado deduciendólo como corolario de otro resultado mucho más complicado y que en pricipio no tenía nada que ver con el resultado prpuesto por Fermat.

Teorema de Fermat

Este teorema tiene relación con las termas pitagóricas. Fermat con este teorema explica que no es posible dividir un cubo en suma de otras dos o un bicuadrados en otro dos bicuadrados, en general, una potencia superior dos potencias del mismo grado.

• Euler dió la demostración para n = 3
• También una de las pocas mujeres matemáticas del siglo XVIII, sophie Germain probó que para todos los números primos n menores que 100, si existe una solución para el teorema de Fermat, alguno de los números x,y ó z tendría que ser un múltiplo de n .Este enunciado se conoce como teorema de Sophie Germain.
• Para n = 5, n = 14, lo demostró Peter Gustav Lejeune - Dirichlet.
• Lamé obtuvo la demostración para n = 7.
• Finalmente el teorema de Fermat fue demostrado por Andrew Wiles, un matemático inglés que trabajaba en la universidad de Princenton en Estados Unidos.

Pierre Fermat

Pierre Fermat nació en 1601 y murió en 1665. Durante sus casi 64 años de vida Fermat aportó a las matemáticas mucho más de lo que la mayoría de matemáticos aportaría en 100 años. Pero... ¿sabías que Fermat nunca fue matemático? No, Fermat estudió derecho, ejerciendo durante toda su vida y aglutinando posiciones de relativa importancia en Toulouse. Todo lo que aprendió y descubrió sobre las matemáticas lo hizo por su cuenta.

Curiosamente, Fermat publicó más libros de poesía que de matemáticas. La razón de esto, aparte de que Fermat fuera un gran poeta, es que la mayor parte de sus descubrimientos los contó por carta a amigos suyos. Sólo después de su muerte se editaron libros sobre sus descubrimientos. Sobre su vida personal, se casó con la prima de su madre y tuvo 3 hijos y dos hijas.

Entre sus descubrimientos, se eleva por encima de todos el "último teorema de Fermat" que dice así:

Fermat nunca demostró su teorema porque, según él, el margen en el que lo escribió era demasiado pequeño. Su teorema, lo supiera demostrar o no Fermat, tuvo en jaque a los científicos durante más de 300 años, hasta que en 1995 Andrew Wiles consiguió demostrarlo

en un artículo de 98 páginas. Puede que al final el borde sí que fuera demasiado pequeño.

Demostración del Teorema de Fermat

Este famoso teorema fue enunciado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue él quién lo demostró, ya que como escribió en la copia donde explicó el problema, el margen del folio era demasiado pequeño como para seguir escribiendo.

La demostración de este teorema fue paso a paso:

· Fue el propio Fermat quien demostró el caso n=4.

· Posteriormente, en 1735, Leoard Euler demostró el caso n=3

· El teorema de dividía en dos casos: Caso 1: Ninguno de los x, y, z es divisible por p, Caso 2: Uno y sólo uno de x, y, z es divisible por p.

Dada esta información, Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100.

· En 1825, Dirichlet y Legrende demostraron el caso n=5.

· Finalmente, fue Andrew Wiles en 1995, quien demostró el Último Teorema de Fermat. El trabajo que Fermat hizo fue un gran avance en el área de la modularidad. A partir de esta demostración, han surgido otras como la de la Conjetura de Serre y la de Sato-Tate.

Alejandra Herrero Olavarri 4º.2

Teorema de Fermat

Curiosidades del teorema de Fermat:

• Su fama ha hecho que se encuentre en sellos postales:

• En un capítulo de la 2ª temporada de Star Trek hacen alusión al teorema:

Picard – El último teorema de Fermat, te resulta familiar.
Riker – Vagamente, en las clases de matemáticas soñaba con viajar en una nave estelar.
Picard – Cuando Fermat murió, encontraron esta inexplicable ecuación en el margen de sus notas,” x elevado a n mas y elevado a n es igual a z elevado a n” para n mayor de dos. Lo cual no tiene solución en números totales. Pero también añadió esta frase “Demostración problemática”.
Riker – Si ya recuerdo. Y no incluía la resolución.
Picard – Y los científicos llevan 800 años buscándola.
Riker – Incluido Uds.

• Se filmó una película cuyo argumento se refiere a la demostración del teorema:

• También se han realizado viñetas humorísticas, zapatillas con el teorema e incluso aparece en un capítulo de Los Simpsons.

El último teorema de Fermat

Pierre de Fermat, jurista francés del siglo XVII y apasionado de las Matemáticas, es conocido como el padre de la teoría de números. Sus contribuciones matemáticas se pueden encontrar en varios campos, como Estadística y Análisis, pero fue la teoría de números la rama que más le cautivó. Sus contribuciones abarcan los números perfectos, los números amigos, los números de Fermat (su gran batacazo), el pequeño teorema de Fermat (generalizado más tarde por Euler)…

Gran parte de culpa de este interés de Fermat por la teoría de números la tuvo un ejemplar de laArithmetica de Diofanto de Alejandría que llegó a sus manos. A través de ese libro Fermat comenzó a estudiar propiedades de los números, y en este libro nos dejó su afirmación más enigmática y a la vez la que más quebraderos de cabeza ha provocado en toda la comunidad matemática desde su época hasta nuestros días. Por ser la afirmación de Fermat que más se ha tardado en demostrar se denomina último teorema de Fermat.

Concretando: al ver un apartado en el que se hablaba del teorema de Pitágoras escribió Fermat lo siguiente:

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla

Es decir, Fermat afirmó que mientras que la ecuación x² + y² = z² sí tienes soluciones enteras positivas, para n más grande no existen tres enteros positivos x, y, z tal que

xⁿ + yⁿ = zⁿ

TEOREMA DE FERMAT

TEOREMA DE FERMAT



Es uno de los teoremas más famosos de la historia de las matemáticas. Se puede enunciar de la siguiente manera:


"Dado un número que sea un cuadrado, descomponerlo como suma de otros dos números cuadrados"



La ecuación:
Numerosos matemáticos han intentado demostrarlo a lo largo del tiempo, 350 años más tarde, en 1994, Andrew Wiles publicó la demostración del Gran teorema de Fermat.

EL TEOREMA DE FERMAT

El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de números relacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:

Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a , ap ≡ a (mod p) Pierre de Fermat, 1636

Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma:

Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a coprimo con p , ap-1 ≡ 1 (mod p) Pierre de Fermat, 1636

Esto quiere decir que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p (véase aritmética modular). Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.

Este teorema no tiene nada que ver con el legendario último teorema de Fermat, que fue sólo una conjetura durante 350 años y finalmente fue demostrado por Andrew Wiles en 1995.

María Quijano (4º2)

Segunda quincena de MAYO 2011

TEMA PROPUESTO: EL TEOREMA DE FERMAT
Continuamos con esta sección. Puedes participar haciendo un comentario a las entradas de tus compañeros o escribiendo la tuya. En este tema te propongo las siguientes posibilidades, pero tu puedes optar por otras diferentes: ¿cómo es?, ¿anécdotas?, propiedades, algunas curiosidades,...
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